波

波可以理解为：某个物理量在空间和时间中的周期性或非周期性扰动，并且这种扰动能够向外传播。

波的类型	被扰动的物理量	传播介质
水波	水面高度	水
声波	空气压强、密度	空气、固体、液体
弹性波	位移、应力	固体
电磁波	电场 $\mathbf{E}$ 和磁场 $\mathbf{H}$	可在真空中传播
光波	特定频段的电磁波	真空、空气、光纤、波导等

从数学上讲，最简单的一维简谐波可以写成：

$$u(x,t)=A\cos(\omega t-kx+\varphi_0)$$

• $u(x,t)$：随空间和时间变化的物理量；
• $A$：振幅；
• $\omega$：角频率，单位 rad/s；
• $k$：波数，单位 rad/m；
• $x$：传播方向上的位置；
• $t$：时间；
• $\varphi_0$：初始相位。

如果相位写成：

$$\phi(x,t)=\omega t-kx+\varphi_0$$

那么波的本质可以理解为：相同相位的点不断向前移动（t 在变、同一 $\phi$ ，那 x 也在变）。

分类

是否需要介质

类型	特点	例子
机械波	必须依赖介质传播	声波、水波、地震波
电磁波	不需要介质，可在真空中传播	无线电波、微波、红外光、可见光、紫外光

按振动方向和传播方向的关系

类型	定义	例子
横波	振动方向垂直于传播方向	电磁波、绳波
纵波	振动方向平行于传播方向	空气中的声波

电磁波在自由空间中通常是横波。如果光沿 $z$ 方向传播，那么电场和磁场通常在横向方向振荡，例如：

$$\mathbf{E} \perp \mathbf{H} \perp \mathbf{k}$$

其中 $\mathbf{k}$ 表示波矢方向，也就是传播方向。

偏振

固定空间位置，观察光波电场矢量 $\mathbf E$，看它的端点随时间画出什么轨迹。

假设光沿 $+z$ 传播，那么只需要观察垂直于 $z$ 的 $xy$ 平面。

因此有一个特别直观的理解：

$$\boxed{ \text{偏振 = 电场矢量在横截面内怎样运动} }$$

通常我们用电场而不是磁场定义光的偏振。

磁场方向随后由传播方向和电场方向确定。

• 上排是固定位置处电场端点的运动轨迹；
• 下排是同一时刻沿 $+z$ 方向的空间场矢量；
• 线偏振形成平面轨迹；
• 圆偏振形成圆螺旋；
• 椭圆偏振形成椭圆螺旋；
• 脚本(polarization_states_animation.m)运行时还会输出 Jones 向量、Stokes 参数、主轴角和椭圆率角。

三种偏振

因为电场位于 $xy$ 平面，所以无论它指向哪里，都可以写成：

$${\bf E}=E_x\hat{x}+E_y\hat{y}$$

对于单频光，把电场分解成两个正交分量：

$$E_x=A_x\cos(k z-\omega t+\phi_x)$$

$$E_y=A_y\cos(k z-\omega t+\phi_y)$$

其中：

• $A_x,A_y$：两个方向的振幅
• $\delta=\phi_y-\phi_x$：两个分量的相位差

因此整个偏振状态，本质上就由三个东西决定：x 分量多大、y 分量多大，以及它们之间差多少相位。

消去时间后可得到偏振椭圆：

$$({\frac{E_x}{A_x}})^2+({\frac{E_y}{A_y}})^2-2 {\frac{E_x E_y}{A_x A_y}}\cos\delta=\sin^2\delta$$

线、圆、椭圆偏振其实是同一个方程的不同情况。

偏振状态	条件	电场端点轨迹
线偏振	$\delta=0$ 或 $\pi$，或者某一分量为零	直线
圆偏振	$A_x=A_y$，且 $\delta=\pm\pi/2$	圆
椭圆偏振	其余一般情况	椭圆

1. 线偏振

若两个分量同相：

$$E_x=A_x\cos\theta, \qquad E_y=A_y\cos\theta$$

则：

$$\frac{E_y}{E_x}=\frac{A_y}{A_x}$$

方向始终不变，只有大小和正负改变，因此端点沿固定直线往复运动。

2. 圆偏振
   若两个分量振幅相等、相位相差 $90^\circ$：

$$E_x=A_x\cos\theta, \qquad E_y=A_y\sin\theta$$

则：

$$\boldsymbol{E}_x^2+\boldsymbol{E}_y^2=\boldsymbol{E}_0^2$$

电场大小保持不变，方向连续旋转，端点形成圆。

3. 椭圆偏振

只要振幅不相等，或者相位差不是 $0,\pi,\pm\pi/2$ 的特殊组合，端点通常形成椭圆。椭圆偏振是最一般的完全偏振状态，线偏振和圆偏振可看作它的退化情况。

产生

• 线偏振：让自然光通过线偏振片。
• 圆偏振：线偏振光以 $45^\circ$ 入射四分之一波片，使两个等振幅正交分量产生 $90^\circ$ 相位差。
• 椭圆偏振：进入四分之一波片的线偏振方向不是 $45^\circ$，两个分量振幅不相等；或者器件产生了其他相位延迟。

双折射介质产生的相位差近似为：

$$\Delta\phi={\frac{2\pi d}{\lambda}} (n_e-n_o)$$

这也是波片控制偏振的基础。

判断

1. 已知振幅和相位

直接使用前面的判断条件：

• $\sin\delta=0$：线偏振
• $A_x=A_y$、$|\sin\delta|=1$：圆偏振
• 其他情况：椭圆偏振

需要特别注意：

• $A_x\neq A_y,\ \delta=\pm90^\circ$ 仍然是椭圆偏振。
• $A_x=A_y$，但相位差不是 $\pm90^\circ$，也不是圆偏振。

2. Jones 向量

   略去不影响偏振的公共相位后：

$$\mathbf{J}=[ \begin{matrix}{\boldsymbol{A}_x} \\ {\boldsymbol{A}_y e^{i\delta}} \\ \end{matrix}]$$

Jones 向量适合描述完全偏振的相干单色光。

3. Stokes 参数

脚本还计算：

$$\begin{aligned}{S_0} & {{}=A_x^2+A_y^2} \\ {S_1} & {{}=A_x^2-A_y^2} \\ {S_2} & {{}=2A_x A_y\cos\delta} \\ {S_3} & {{}=2A_x A_y\sin\delta} \\ \end{aligned}$$

判断规则为：

• 线偏振：$S_3=0$
• 圆偏振：$S_1=S_2=0,\ |S_3|=S_0$
• 椭圆偏振：其他完全偏振状态

偏振椭圆主轴角和椭圆率角为：

$$\psi=\frac{1}{2}\operatorname{atan2} (S_2, S_1)$$

$$\chi=\frac{1}{2}\arcsin(\frac{S_3}{S_0})$$

NIST 资料也使用 Stokes 参数表示偏振椭圆和庞加莱球，并采用旋转四分之一波片加偏振片测量完整 Stokes 参数。tsapps.nist.gov/publication/get_pdf.cfm?pub_id=933324

4. 用偏振片实验判断

旋转线偏振片并观察透射强度：

• 能完全消光：线偏振
• 强度随角度变化但不能完全消光：椭圆偏振或部分偏振
• 强度基本不变：可能是圆偏振，也可能是非偏振光

因此，仅靠线偏振片不能区分圆偏振和非偏振光，需要增加四分之一波片或使用 Stokes 偏振仪。

左旋和右旋

旋向必须同时声明：

1. 光的传播方向；
2. 从哪个方向观察；
3. 使用 $e^{i(kz-\omega t)}$ 还是 $e^{i(\omega t-kz)}$ 相量约定。

否则“左旋”和“右旋”可能因学科标准不同而互换。脚本固定采用：

$$e^{i(k z-\omega t)}$$

并明确标出传播方向 $+z$，可以直接根据动画观察旋转方向。

按波形分类

类型	特点
简谐波	单一频率，例如 $\cos(\omega t-kz)$
脉冲波	时间上局域的一段波包
连续波	持续不断传播，例如连续激光
调制波	振幅、相位或频率被信息调制后的波

电磁波

电磁波的物理本质

电磁波是由相互耦合的电场和磁场组成的波。

简单来说：

• 变化的电场会产生磁场；
• 变化的磁场会产生电场；
• 电场和磁场相互维持，使扰动向前传播。

在均匀、各向同性、无源介质中，电磁波的传播速度为：

$$v=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}$$

其中：

• $v$：介质中的电磁波速度；
• $\mu$：介质的磁导率；
• $\varepsilon$：介质的介电常数。

在真空中：

$$c_0=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}$$

其中：

• $c_0$：真空光速，约为 $3.0\times10^8\ \text{m/s}$；
• $\mu_0$：真空磁导率；
• $\varepsilon_0$：真空介电常数。

电磁波谱

电磁波的频率范围非常宽，从低频无线电波到高频伽马射线都属于电磁波。

无线电波 → 微波 → 太赫兹波 → 红外光 → 可见光 → 紫外光 → X射线 → γ射线

它们本质上都是电磁波，区别主要在于：

$$f,\ \lambda,\ E$$

也就是：

• 频率 $f$ 不同；
• 波长 $\lambda$ 不同；
• 单个光子的能量 $E$ 不同。

频率和波长满足：

$$c_0=f\lambda_0$$

其中：

• $f$：频率；
• $\lambda_0$：真空中的波长；
• $c_0$：真空光速。

光子能量为：

$$E=hf$$

其中：

• $E$：单个光子的能量；
• $h$：普朗克常数；
• $f$：光频率。

频率越高，单个光子的能量越高。

光通信

光通信中的“光”主要是近红外光。

常用波长主要有：

波长	频率约值	常见应用
850 nm	约 353 THz	短距离多模光纤通信
1310 nm	约 229 THz	低色散窗口，常用于中短距离通信
1550 nm	约 193.5 THz	低损耗窗口，长距离通信、DWDM、EDFA 系统

常见光纤通信波段如下：

波段	波长范围	说明
O-band	1260–1360 nm	Original band，靠近零色散区
E-band	1360–1460 nm	Extended band
S-band	1460–1530 nm	Short wavelength band
C-band	1530–1565 nm	常用通信窗口，EDFA 适用
L-band	1565–1625 nm	长波长扩展通信窗口
U-band	1625–1675 nm	Ultra-long wavelength band

其中最常见的是 1310 nm 和 1550 nm。

1310nm 和 1550nm

1310 nm 附近

主要特点：

• 石英光纤在该波段色散较小；
• 适合中短距离通信；
• 系统设计相对简单。

1550 nm 附近

主要特点：

• 石英光纤损耗最低，典型约为 $0.2\ \text{dB/km}$ 量级；
• 适合长距离传输；
• 可以使用 EDFA 掺铒光纤放大器；
• 适合 DWDM 密集波分复用系统。

所以通信系统中常说的“光载波”，频率其实非常高，通常在百 THz 量级。例如 1550 nm 光对应：

$$f=\frac{c_0}{\lambda_0} =\frac{3.0\times10^8}{1550\times10^{-9}} \approx 193.5\ \text{THz}$$

概念链接

关键表达式：沿 $z$ 方向传播的一束简谐光波

$$E(z,t)=E_0\cos(\omega t-\beta z+\varphi_0)$$

符号	含义
$E(z,t)$	电场强度
$E_0$	电场振幅
$\omega$	角频率
$\beta$	相位传播常数
$z$	传播距离
$t$	时间
$\varphi_0$	初始相位

频率 $f$ 与角频率 $\omega$

频率表示一秒钟振动多少次，单位 Hz。

$$\omega=2\pi f$$

其中：

• $f$：频率，单位 Hz；
• $\omega$：角频率，单位 rad/s。

周期 $T$ 与频率 $f$

$$T=\frac{1}{f}$$

波长 $\lambda$ 与波速 $v$

波长表示空间中相邻两个同相位点之间的距离，例如两个波峰之间的距离。

$$v=f\lambda$$

其中：

• $v$：介质中的波速；
• $f$：频率；
• $\lambda$：介质中的波长。

注意：光从一种介质进入另一种介质时，频率 $f$ 通常不变，变化的是波速 $v$ 和波长 $\lambda$。

真空光速 $c_0$

$$c_0 \approx 3.0\times10^8\ \text{m/s}$$

真空中频率和波长满足：

$$c_0=f\lambda_0$$

其中 $\lambda_0$ 是真空波长。

折射率 $n$

折射率定义为真空光速与介质中光速的比值：

$$n=\frac{c_0}{v}$$

因此介质中的光速为：

$$v=\frac{c_0}{n}$$

折射率越大，光在该介质中传播越慢。

介质中的波长为：

$$\lambda=\frac{\lambda_0}{n}$$

这句话很重要：

光进入介质后，频率不变，速度变慢，波长变短。

介电常数 $\varepsilon$、磁导率 $\mu$ 与折射率 $n$

介质中的电磁波速度为：

$$v=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}$$

真空中的光速为：

$$c_0=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}$$

相对介电常数和相对磁导率定义为：

$$\varepsilon_r=\frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}$$

$$\mu_r=\frac{\mu}{\mu_0}$$

折射率可以写成：

$$n=\sqrt{\varepsilon_r\mu_r}$$

对于大多数光学材料，磁导率近似为真空磁导率，即：

$$\mu_r\approx 1$$

所以光学中常用近似：

$$n\approx \sqrt{\varepsilon_r}$$

这说明：折射率本质上和材料的电磁响应有关，尤其和介电常数有关。

波数 $k$ 与传播常数 $\beta$

波数表示单位长度内相位变化的快慢。

在真空中：

$$k_0=\frac{2\pi}{\lambda_0}$$

也可以写成：

$$k_0=\frac{\omega}{c_0}$$

在折射率为 $n$ 的均匀介质中：

$$k=\frac{2\pi}{\lambda}$$

所以：

$$k=nk_0$$

在光波导、光纤、MZM 里面，更常用传播常数 $\beta$ 表示沿传播方向的相位变化：

$$\beta=nk_0=\frac{2\pi n}{\lambda_0}$$

也可以写成：

$$\beta=\frac{2\pi}{\lambda}$$

相位 $\phi$

沿 $z$ 方向传播的光波可以写成：

$$E(z,t)=E_0\cos(\omega t-\beta z+\varphi_0)$$

其相位为：

$$\phi(z,t)=\omega t-\beta z+\varphi_0$$

这里的 $t$ 和 $z$ 都是变量：

• $t$ 表示时间；
• $z$ 表示空间位置；
• $\phi(z,t)$ 表示某个位置、某个时刻，波振动到了什么状态。

相位是用来描述波当前“振动进度”的量。

比如对于余弦波：

$$E=E_0\cos\phi$$

不同相位对应不同状态：

相位	电场状态
$\phi=0$	正最大值
$\phi=\pi/2$	过零点
$\phi=\pi$	负最大值
$\phi=3\pi/2$	再次过零点
$\phi=2\pi$	回到正最大值

注意：相位是周期量。

$\phi,\ \phi+2\pi,\ \phi+4\pi$ 对应的是同一种波动状态。

所以“同相位”严格来说是：

$$\Delta \phi = 2m\pi,\quad m=0,\pm1,\pm2,\cdots$$

在某一固定时刻，光传播距离 $L$ 后产生的相位变化为：

$$\Delta \phi=\beta L$$

代入 $\beta$：

$$\Delta \phi=\frac{2\pi n}{\lambda_0}L$$

这个公式在 MZM 中非常重要。因为 MZM 本质上就是通过改变光在两个臂中的相位差来控制输出强度。

如果某一段波导折射率变化了 $\Delta n$，长度为 $L$，则相位变化为：

$$\Delta \phi=\frac{2\pi}{\lambda_0}\Delta n L$$

这就是很多电光调制、热光调制、相位调制的核心公式。

有效折射率 $n_{\mathrm{eff}}$

在自由空间或均匀介质中，可以简单使用材料折射率 $n$。

但是在光纤、波导、薄膜铌酸锂 MZM 中，光并不是完全在某一种材料中传播，而是被限制在一个波导结构里。光场可能一部分在芯层，一部分在包层，一部分在空气或氧化层中。

这时不能简单用某一种材料的折射率，而要用有效折射率：

$$n_{\mathrm{eff}}=\frac{\beta}{k_0}$$

也就是：

$$\beta=k_0 n_{\mathrm{eff}}$$

其中：

• $n_{\mathrm{eff}}$：有效折射率；
• $\beta$：实际模式沿传播方向的传播常数；
• $k_0$：真空波数。

有效折射率可以理解为：

对于某一个波导模式来说，它沿传播方向表现得像是在一个折射率为 $n_{\mathrm{eff}}$ 的等效介质中传播。

在 MZM 中，控制电压、温度、载流子浓度等因素会改变 $n_{\mathrm{eff}}$，从而改变相位。

传播常数 $\gamma$

如果介质或波导有损耗，光波传播时不仅相位会变化，振幅也会衰减。

这时常用复传播常数：

$$\gamma=\alpha+j\beta$$

光场可以写成：

$$E(z)=E_0 e^{-\gamma z} =E_0 e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}$$

其中：

• $\alpha$：衰减常数；
• $\beta$：相位常数；
• $\gamma$：复传播常数；
• $e^{-\alpha z}$：描述振幅衰减；
• $e^{-j\beta z}$：描述相位变化。

在光纤通信中，损耗常用 dB/km 表示，例如：

$$P(z)=P(0)\times 10^{-\alpha_{\mathrm{dB}}z/10}$$

其中：

• $P(z)$：传播距离 $z$ 后的光功率；
• $P(0)$：输入光功率；
• $\alpha_{\mathrm{dB}}$：功率损耗系数，单位 dB/km；
• $z$：传播距离，单位 km。

链接

介质材料参数 ε、μ
        ↓
决定电磁波传播速度 v
        ↓
v = 1 / sqrt(με)
        ↓
折射率 n = c0 / v
        ↓
介质中波长 λ = λ0 / n
        ↓
波数 k = 2π / λ
        ↓
传播常数 β = nk0 = 2πn / λ0
        ↓
传播距离 L 产生相位变化 Δφ = βL
        ↓
通过改变 n 或 neff，就能调制相位
        ↓
MZM 利用两臂相位差控制输出光强

$$v=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}$$

$$n=\frac{c_0}{v}$$

$$\lambda=\frac{\lambda_0}{n}$$

$$k_0=\frac{2\pi}{\lambda_0}$$

$$\beta=nk_0=\frac{2\pi n}{\lambda_0}$$

$$\Delta\phi=\beta L=\frac{2\pi nL}{\lambda_0}$$

如果是波导模式，则把 $n$ 换成 $n_{\mathrm{eff}}$：

$$\beta=k_0 n_{\mathrm{eff}}$$

$$\Delta\phi=\frac{2\pi n_{\mathrm{eff}}L}{\lambda_0}$$

如果有效折射率发生变化：

$$\Delta\phi=\frac{2\pi L}{\lambda_0}\Delta n_{\mathrm{eff}}$$

MZM 控制

MZM 输入光场进入两个干涉臂。两个臂分别积累相位：

$$\phi_1=\beta_1 L$$

$$\phi_2=\beta_2 L$$

两臂相位差为：

$$\Delta\phi=\phi_1-\phi_2$$

输出光强与相位差有关，理想情况下可写成：

$$I_{\mathrm{out}}=I_{\mathrm{in}}\cos^2\left(\frac{\Delta\phi}{2}\right)$$

或者等价写成：

$$I_{\mathrm{out}}=\frac{I_{\mathrm{in}}}{2}\left[1+\cos(\Delta\phi)\right]$$

所以：

• 当 $\Delta\phi=0, 2\pi, 4\pi,\dots$ 时，输出最大；
• 当 $\Delta\phi=\pi, 3\pi, 5\pi,\dots$ 时，输出最小；
• MZM 工作点控制，本质上就是控制 $\Delta\phi$ 稳定在目标位置。

对于热调 MZM，温度改变会引起有效折射率变化：

$$\Delta n_{\mathrm{eff}}=\frac{dn_{\mathrm{eff}}}{dT}\Delta T$$

因此相位变化为：

$$\Delta\phi = \frac{2\pi L}{\lambda_0} \frac{dn_{\mathrm{eff}}}{dT} \Delta T$$

加热功率变化
    ↓
温度变化 ΔT
    ↓
有效折射率变化 Δneff
    ↓
传播常数 β 变化
    ↓
相位变化 Δφ
    ↓
干涉输出光强变化

总结

频率 f：时间上振得多快
波长 λ：空间上隔多远重复一次
波速 v：相位向前跑得多快
折射率 n：介质让光慢下来多少
波数 k：单位长度相位变化多少
传播常数 β：沿传播方向的相位变化率
相位 φ：决定干涉结果
有效折射率 neff：波导模式看到的等效折射率

$$c_0=f\lambda_0$$

$$v=\frac{c_0}{n}$$

$$\lambda=\frac{\lambda_0}{n}$$

$$k_0=\frac{2\pi}{\lambda_0}$$

$$\beta=n_{\mathrm{eff}}k_0$$

$$\Delta\phi=\beta L$$

$$\Delta\phi=\frac{2\pi L}{\lambda_0}\Delta n_{\mathrm{eff}}$$

波长和频率

$$f=\frac{c_0}{\lambda}$$

其中：

• $f$：光频率；
• $\lambda$：真空波长；
• $c_0$：真空光速，约为 $3\times10^8\ \mathrm{m/s}$。

求微分，有：

$$df=-\frac{c_0}{\lambda^2}d\lambda$$

$$d\lambda=-\frac{\lambda^2}{c_0}df$$

只关心变化量大小：

$$|\Delta \lambda|\approx \frac{\lambda^2}{c_0}|\Delta f|$$

在 $1550\ \mathrm{nm}$ 附近：

$$\lambda=1550\ \mathrm{nm}=1550\times10^{-9}\ \mathrm{m}$$

$$\Delta f=100\ \mathrm{GHz}=100\times10^9\ \mathrm{Hz}$$

则：

$$|\Delta \lambda| \approx \frac{(1550\times10^{-9})^2}{3\times10^8} \times 100\times10^9$$

$$|\Delta \lambda|\approx 0.8\ \mathrm{nm}$$

所以在 1550 nm 附近：

$$100\ \mathrm{GHz}\approx 0.8\ \mathrm{nm}$$

中心波长	100 GHz 约对应波长间隔
850 nm	约 0.24 nm
1310 nm	约 0.57 nm
1550 nm	约 0.80 nm
1625 nm	约 0.88 nm

Q.E.D.