相位、相干与干涉

相位描述波在振荡周期中的“位置”，相干描述两束波的相位关系能否长期稳定，而干涉就是两束或多束相干光在场叠加后表现出的功率增强或减弱现象。

1. 脉络

在 光场、光功率与复包络中，我们已经区分了光场、包络和功率。接下来要回答两个核心问题：

1. 为什么两束光能够“相加”？
2. 为什么相位差会变成输出功率的变化？

这两个问题的答案就是：相位、相干与干涉。

2. 相位到底是什么

对于简谐波：

$$E(t)=E_0\cos(\omega t+\varphi)$$

其中 $\varphi$ 就是相位常数，它表示在 $t=0$ 时波处在整个周期的什么位置。

若考虑传播：

$$E(z,t)=E_0\cos(\omega t-\beta z+\varphi_0)$$

则总相位为：

$$\Phi(z,t)=\omega t-\beta z+\varphi_0$$

因此，相位既可以从时间上看，也可以从空间上看：

• 固定位置看，随时间变化；
• 固定时刻看，随空间变化。

3. 为什么我们更关心相位差

单独一束光的“绝对相位”通常难以直接测量，而干涉现象只与相位差有关。

设两束同频光为：

$$E_1(t)=E_{01}\cos(\omega t+\varphi_1)$$

$$E_2(t)=E_{02}\cos(\omega t+\varphi_2)$$

定义相位差：

$$\Delta\varphi=\varphi_1-\varphi_2$$

最终的干涉强弱正是由 $\Delta\varphi$ 决定的。

4. 两束光为什么会干涉

干涉首先是场叠加：

$$E(t)=E_1(t)+E_2(t)$$

若两束光同偏振、同频且空间模式匹配，则平均功率满足：

$$P\propto |\tilde E_1+\tilde E_2|^2$$

展开得：

$$P\propto |\tilde E_1|^2+|\tilde E_2|^2+2|\tilde E_1||\tilde E_2|\cos\Delta\varphi$$

若记单独两束光功率为 $P_1,P_2$，则常写成：

$$P=P_1+P_2+2\sqrt{P_1P_2}\cos\Delta\varphi$$

这个最后一项就是干涉项。

几个典型情况

• 当 $\Delta\varphi=0$ 时，$\cos\Delta\varphi=1$，得到相长干涉；
• 当 $\Delta\varphi=\pi$ 时，$\cos\Delta\varphi=-1$，得到相消干涉；
• 当 $\Delta\varphi=\pm \pi/2$ 时，干涉项为 0。

5. 什么叫相干

相干并不只是“频率一样”，更关键的是：

两束波之间的相位差是否在感兴趣的时间内保持稳定或至少具有可预期统计规律。

更一般地，可写为：

$$P=P_1+P_2+2\sqrt{P_1P_2}\,|\gamma_{12}|\cos\Delta\varphi$$

其中 $|\gamma_{12}|$ 是相干度的模，满足：

$$0\le |\gamma_{12}|\le 1$$

含义是：

• $|\gamma_{12}|=1$：完全相干；
• $0<|\gamma_{12}|<1$：部分相干；
• $|\gamma_{12}|=0$：不相干。

如果两束光的相位差在观测时间内快速随机变化，那么干涉项在时间平均后趋近于 0，最终只剩：

$$P\approx P_1+P_2$$

6. 形成稳定干涉通常要满足哪些条件

要形成稳定且可控的干涉，通常至少要满足：

1. 频率足够接近：相位关系不能在观测窗口内乱跑；
2. 偏振匹配：正交偏振不会有效干涉；
3. 空间模式重叠：两束光要在同一模式或高度重叠的模式中叠加；
4. 光程差受控：不能超过相干长度太多；
5. 环境稳定：温度、应力、振动不会让相位随机跳动。

7. 相干时间和相干长度

若光源线宽为 $\Delta\nu$，则相干时间的量级常近似写为：

$$\tau_c\sim \frac{1}{\Delta\nu}$$

相干长度量级为：

$$L_c\sim \frac{c}{n}\tau_c$$

这意味着：

• 线宽越窄，相干时间越长；
• 相干长度越长，越容易在较长光路差条件下产生稳定干涉。

这也是为什么激光非常适合用于 MZI/MZM，而宽带 LED 则不适合作为长光程差干涉的理想光源。

8. MZI / MZM 为什么高度依赖干涉

MZI 的本质就是把一束光分成两路，再让它们重合。MZM 则是在 MZI 两臂中加入电光相移控制，使相位差变成可控量。

若两臂相位分别为 $\phi_1,\phi_2$，则差分相位为：

$$\Delta\phi=\phi_1-\phi_2$$

一个输出端口的场幅与功率可写成：

$$E_{out}\propto \cos\left(\frac{\Delta\phi}{2}\right)$$

$$P_{out}\propto \cos^2\left(\frac{\Delta\phi}{2}\right)$$

这正是 MZM 余弦型传输函数的物理根源。

9. 为什么 PD 常看见功率而不是相位

PD 是平方律探测器，它输出与光功率成正比，而不是直接输出“相位表”。因此：

• 若没有干涉或拍频参考，相位信息不会直接以独立变量出现；
• 相位通常借助干涉、拍频、相干检测或本振参考，转化成强度或电流变化后才能被观测。

10. 与当前 MZM 偏压控制的联系

在偏压控制里，您真正观测到的是某个输出端口或互补端口的光功率变化。之所以光功率会随偏压变化，是因为偏压改变了两臂相位差：

直流偏压 / 调制电压
    ↓
改变两臂折射率
    ↓
改变两臂相位 φ1, φ2
    ↓
改变差分相位 Δφ
    ↓
改变干涉结果
    ↓
改变输出光功率

因此不理解相位、相干与干涉，就无法真正理解：

• 为什么有 MAX / MIN / QUAD；
• 为什么互补端口一增一减；
• 为什么温漂会引起偏置漂移；
• 为什么 MZM 需要闭环控制。

11. 常见误区

误区 1：同频就一定能稳定干涉

不对。若相位差随机漂移，时间平均后依然可能看不到稳定干涉项。

误区 2：相消干涉意味着能量消失

不对。对于无损耦合器，某个端口变暗时，能量会转移到互补端口。

误区 3：PD 能直接量到相位

不对。PD 通常测量的是功率或由功率变化形成的电信号。

12. 自检题

1. 为什么干涉项中一定会出现 $\cos\Delta\varphi$？
2. 完全相干与部分相干在输出功率表达式里有什么区别？
3. 为什么相位差而不是绝对相位决定干涉结果？
4. 为什么 MZM 输出会随偏压呈余弦型变化？

自检题答案

1. 为什么干涉项中一定会出现 $\cos\Delta\varphi$？

因为干涉功率来自两束复光场先叠加、再取模平方。

设两束光的复包络为：

$$\tilde E_1=A_1e^{j\varphi_1}$$

$$\tilde E_2=A_2e^{j\varphi_2}$$

叠加后的功率满足：

$$P\propto |\tilde E_1+\tilde E_2|^2$$

展开：

$$P\propto (\tilde E_1+\tilde E_2) (\tilde E_1^*+\tilde E_2^*)$$

得到：

$$P\propto |\tilde E_1|^2 + |\tilde E_2|^2 + \tilde E_1\tilde E_2^* + \tilde E_1^*\tilde E_2$$

其中两个交叉项为：

$$\tilde E_1\tilde E_2^* = A_1A_2e^{j(\varphi_1-\varphi_2)} = A_1A_2e^{j\Delta\varphi}$$

$$\tilde E_1^*\tilde E_2 = A_1A_2e^{-j\Delta\varphi}$$

两者相加：

$$A_1A_2 \left( e^{j\Delta\varphi} + e^{-j\Delta\varphi} \right) = 2A_1A_2\cos\Delta\varphi$$

因此：

$$P\propto A_1^2+A_2^2 + 2A_1A_2\cos\Delta\varphi$$

也就是：

$$P = P_1+P_2 + 2\sqrt{P_1P_2}\cos\Delta\varphi$$

$\cos\Delta\varphi$ 不是人为加进去的经验项，而是两个复光场取模平方后，交叉项自然产生的结果。它正好描述两束光的相位关系如何改变输出功率。

2. 完全相干与部分相干在输出功率表达式里有什么区别？

一般情况下，笔记中的输出功率写成：

$$P = P_1+P_2 + 2\sqrt{P_1P_2}\, |\gamma_{12}| \cos\Delta\varphi$$

其中：

$$0\le |\gamma_{12}|\le 1$$

$|\gamma_{12}|$ 决定干涉项能够保留多少。

完全相干时：

$$|\gamma_{12}|=1$$

所以：

$$P = P_1+P_2 + 2\sqrt{P_1P_2}\cos\Delta\varphi$$

干涉项可以完整保留，相长和相消效果最明显。

部分相干时：

$$0<|\gamma_{12}|<1$$

所以：

$$P = P_1+P_2 + 2\sqrt{P_1P_2} |\gamma_{12}| \cos\Delta\varphi$$

干涉项被乘上一个小于 1 的系数，因此干涉增强和减弱的幅度都会变小。

若完全不相干：

$$|\gamma_{12}|=0$$

则：

$$P=P_1+P_2$$

干涉项消失。

完全相干和部分相干并不是改变 $\cos\Delta\varphi$ 的形式，而是通过 $|\gamma_{12}|$ 改变干涉项的“强度”。相干性越差，可观察到的干涉起伏越弱。

3. 为什么相位差而不是绝对相位决定干涉结果？

设两束光为：

$$E_1(t)=E_{01}\cos(\omega t+\varphi_1)$$

$$E_2(t)=E_{02}\cos(\omega t+\varphi_2)$$

干涉项最终只包含：

$$\Delta\varphi = \varphi_1-\varphi_2$$

例如同时给两束光增加同一个公共相位 $\varphi_c$：

$$\varphi_1' = \varphi_1+\varphi_c$$

$$\varphi_2' = \varphi_2+\varphi_c$$

那么新的相位差为：

$$\Delta\varphi' = \varphi_1'-\varphi_2'$$

代入：

$$\Delta\varphi' = (\varphi_1+\varphi_c) - (\varphi_2+\varphi_c) = \varphi_1-\varphi_2 = \Delta\varphi$$

因此两束光虽然“整体一起向前或向后移动了相位”，但它们彼此之间的相对位置没有改变，干涉结果也不会改变。

干涉比较的是“两束光彼此错开多少”，而不是某一束光单独处在周期中的绝对位置。因此 MZM 真正要控制的是两臂差分相位 $\Delta\phi=\phi_1-\phi_2$。

4. 为什么 MZM 输出会随偏压呈余弦型变化？

根据本篇笔记，MZM 本质上是在 MZI 两臂中加入可控相移。

两臂相位分别为：

$$\phi_1,\qquad \phi_2$$

差分相位为：

$$\Delta\phi = \phi_1-\phi_2$$

两臂重新合束时首先进行光场叠加。对于理想对称情形，一个输出端口的场幅可以写成：

$$E_{out} \propto \cos\left( \frac{\Delta\phi}{2} \right)$$

PD 最终看的是光功率，因此再取模平方：

$$P_{out} \propto |E_{out}|^2$$

所以：

$$P_{out} \propto \cos^2\left( \frac{\Delta\phi}{2} \right)$$

而偏压通过改变两臂折射率，进一步改变两臂相位：

偏压变化
   ↓
两臂折射率变化
   ↓
φ1、φ2 变化
   ↓
差分相位 Δφ 变化
   ↓
干涉结果变化
   ↓
Pout 按 cos²(Δφ/2) 变化

因此 MZM 输出功率随偏压呈周期性的余弦型传输特性。

几个典型点也由此直接得到：

• $\Delta\phi=0$：$P_{out}$ 最大，对应相长干涉；
• $\Delta\phi=\pi$：$P_{out}$ 最小，对应相消干涉；
• $\Delta\phi=\pm\pi/2$：位于最大和最小之间，对应后续要学习的 QUAD 区域。

“偏压 → 相位差 → 干涉 → 功率”是 MZM 的核心物理链条。余弦型输出并不是偏压直接作用于功率，而是偏压先改变相位差，再由干涉把相位差映射成光功率。

13. 关联笔记

• 前置：光场、光功率与复包络
• 后续：MZM 场传输函数与功率传输函数
• 应用：[[MZM 偏置点 MAX MIN QUAD]]

Q.E.D.